https://cosx.org/2013/01/story-of-normal-distribution-1

有一天一个哥们，也许是个赌徒，向棣莫弗提了一个和赌博相关的问题：A、B 两人在赌场里赌博，A、B 各自的获胜概率是$\mathrm{p,q=1-pp,q=1-p,\; 赌 nn 局。两人约定：若\; A\; 赢的局数 X>npX>np,\; 则\; A\; 付给赌场 X-npX-np元；若 X<npX<np,\; 则\; B\; 付给赌场 np-Xnp-X 元。\; 问赌场挣钱的期望值是多少。}$

问题并不复杂， 本质上是一个二项分布，若 $\mathrm{npnp 为整数，棣莫弗求出最后的理论结果是}$

$$\mathrm{2npqb(n,p,np)2npqb(n,p,np)}$$

其中 $\mathrm{b(n,p,i)=(ni)piqn-ib(n,p,i)=(ni)piqn-i 是常见的二项概率。}$